필수정보

* 1PICK! 50만 학부모가 선택한 ‘조안호수학연구소’
* 1등급! 28년간 상위 1%를 만든 수학 공부법

내신, 수능 등급을 가르는 포인트 ‘미적분’
남들처럼 공부하면 잘해야 중상위권,
제대로 배우면 1등급 고득점이다!

현재 우리나라 교육은 수학으로 시작해서 수학으로 끝난다고 해도 과언이 아니다. 수백 대 일의 경쟁률을 뚫고 의대에 합격하기 위해 초등학생 때부터 고등 수학을 공부하는 일이 비일비재하다. 문·이과 통합 수능을 보는 고등학생들은 상위권 변별력을 확보하기 위해 수학영역을 집중 공략하고, 선택과목으로 미적분을 공부한다. 28학년도에 선택과목은 폐지되어도 문·이과 공통으로 배우는 일반수학에 미적분Ⅰ이 포함되기에 미적분의 기본에 더욱더 집중해야 하는 상황이다.

하지만 수학을 선행하는 초등학생, 중학생은 물론이고 고등학생조차 어려워하는 게 미적분이다. 정말 많은 아이가 미적분의 기본 개념조차 잡지 못하고 수학을 포기하거나 수년간 미적분 공부에 매진하는데도 내신, 수능 3등급 이상을 받지 못한다. 그렇다면 어려운 미적분을 어떻게 공부해야 할까?

그 해답을 담은 책 『미적분, 초등도 풀 만큼 쉽게 가르쳐주마』가 출간되었다. 28년 동안 아이들의 수학 실력을 비약적으로 향상시켜 화제가 된 조안호 소장의 책이다. 조안호 소장은 “노력해도 안 되는 아이는 없다. 미적분을 제대로 배우면 누구나 할 수 있다”고 말한다. 그의 확신만큼 이 책은 미적분을 공부하기 전 반드시 잡아야 할 기초 개념부터 미적분의 핵심 개념 그리고 문제까지, 미적분을 제대로 쉽게 알려준다. 소위 전교 우등생부터 중하위권 아이까지, 미적분에서 헤매는 아이들에게 지금 당장 이 책을 추천한다.

프롤로그: 개념의 징검다리를 놓으면 미적분도 어렵지 않다

1부. 미적분을 배우기 전 반드시 잡아야 할 개념

1장. 수직선

수학, 점점 더 잘하려면 점을 알자
선분으로 알 수 있는 것
수직선을 몰라도 제대로 공부할 수 있을까?
모든 수는 수직선 위에 있다

2장. 함숫값

쉬운 개념이 부족하면 어려운 개념을 이해할 수 없다
평면에서 점들의 의미를 찾자
이제 f(x)는 무섭지 않다
함숫값은 반드시 y축에 있다1
함숫값은 반드시 y축에 있다2
[칼럼] 함숫값을 모르면 미적분은커녕 수학 포기다

3장. 기울기

직선에서만 기울기를 말할 수 있다
직선을 밀어보자
‘기울어진 정도’를 어떻게 ‘수’로 나타낼까?
수학 성적을 바꿀 미결정직선
[칼럼] 직선을 빨리 그려보자

4장. 이차함수

이차함수가 가장 어렵다
이차함수 그래프도 밀어보자
이차함수의 대칭도 외워야 할까?
[칼럼] 직선이 고등 함수를 어렵게 한다

2부. 미분은 기울기다

1장. 극한

수열의 극한부터 제대로 배우자
극한을 이해하는 핵심: ‘0.999…’의 3가지 관점
무한수열의 극한: 무엇인지 몰라도 방법은 있다
[칼럼] 정글의 법칙

2장. 함수의 극한

함수의 극한에도 3가지 관점이 있다
극한값이 결정되지 않았다면 먼저 대입부터 하자
극한값과 함숫값이 같아야 연속이다
[칼럼] 유한에 갇힌 무한

3장. 미분

부드러운 변화를 예측하게 하는 ‘미분’
도함수는 기울기를 유도하는 함수다
미분 가능성: 미분이 될 조건
미분은 기울기이니 증가와 감소를 알려준다
도함수의 활용1: 미결정직선
도함수의 활용2: 방정식
[칼럼] 미분과 기울기는 정말 같을까?

3부. 적분은 넓이다

1장. 무한급수

합의 기호 시그마부터 알아보자
수렴하는 무한급수: 더할수록 어떤 수에 가까워진다
[칼럼] 수열의 대소와 극한

2장. 곡선으로 이루어진 도형의 넓이

구분구적법
적분은 미분을 거꾸로 하면 된다
미적분의 기본 정리
복잡해 보여도 변수는 하나다
함수를 제대로 공부하면 확장은 언제나 쉽다
[칼럼] ∫abf(x)dx = - ∫baf(x)dx인 이유

3장. 정적분의 활용

정적분의 활용1: 곡선과 x축 사이의 넓이
정적분의 활용2: 두 곡선 사이의 넓이
정적분의 활용3: 곡선과 y축 사이의 넓이 그리고 등적
[칼럼] 미적분에서 아이들이 자주 하는 실수를 줄이려면

에필로그: 남들과 같은 방식으로 열심히 하면 잘해야 ‘중상위권’이다

조안호 (지은이)

분수를 잘하면 중등 내신을,
함수를 잘하면 고등 내신을 정복하지만
미적분을 잘하는 아이는 수능을 정복한다!

수학을 잘하는 아이가 공부를 정복하는 건 명백한 사실이다. 초등 분수를 잘하면 중학교에서, 중등 함수를 잘하면 고등학교에서 내신 상위권에 오르기 쉽다. 그런데 미적분을 잘하는 아이는 고등 내신은 물론 수능에서 1등급 고득점을 받는다. 주요 상위권 대학의 상경대, 자연대, 공대, 의대를 준비하는 아이들이 미적분 공부에 집중하는 이유가 여기에 있다.

그런데 아이들 대부분이 미적분을 공부하다가 어렵다는 이유로 해당 단원을 건너뛰는 실수를 범한다. 그보다 쉽고 잘할 수 있는 단원들에 집중해 점수를 빠르게 높이자고 생각하는 것이다. 실제로 이런 요령이 중학교 함수를 배울 때까지는 통한다. 포기한 단원이 시험 범위에 들어갔을 때만 일시적으로 점수가 하락했다가 다른 단원들을 시험 볼 때는 점수가 다시 올라가기 때문이다. 하지만 그대로 고등학교에 올라간다면 미적분 때문에 중하위권으로 떨어진다. 아무리 열심히 공부해도 중상위권, 3등급을 넘기 힘들다. 결국 12년 수학 공부의 마지막 관문인 수능에서 무너지고 만다.

수학의 최종 도착지는 미적분이다. 초등학교부터 중학교까지의 수학 공부는 모두 미적분을 배우기 위한 준비 과정이었고, 그때 배운 모든 개념이 미적분에서 다시 등장한다. 그래서 고등 수학, 특히 미적분을 어려워하는 아이들을 살펴보면 대체로 초등학교, 중학교 때 수학을 제대로 배우지 않은 게 가장 큰 원인이다. 하나하나 제대로 밟고 올라왔다면 누구나 미적분의 문턱을 가뿐히 넘을 수 있다.

내신 5등급, 문·이과 통합 수능 체제의 ‘핵심’
의치한약수, 서포카연고 합격의 ‘해결책’

내신, 수능에서 연일 화두가 되는 건 수학이다. 지금까지 공부에서 수학이 중요하지 않은 때는 없었지만 문·이과 통합 수능으로 바뀐 뒤엔 그 중요성이 더욱 커졌다. 서포카연고(서울대, 포스텍, 카이스트, 연세대, 고려대)나 의치한약수(의대, 치의대, 한의대, 약대, 수의대) 진학을 준비하는 아이들에게 상위권 변별력 확보를 위해 수학 공부는 필수다.

여기에 불을 지피듯 내신 등급이 9등급에서 5등급 체제로 바뀐다. 1, 2등급 비율이 각각 4%, 7%에서 10%, 24%로 늘어나는 것이다. 이렇게 되면 상위권 진입이 더욱 중요해지기에 수학을 포함한 전 과목을 1등급 이내로 관리해야 한다.

그래서 아이들이 수학에서 높은 점수를 얻고자 정말 많은 공부를 한다. 학원, 과외, 인강을 돌며 닥치는 대로 문제를 풀고 유형과 기술을 열심히 외운다. 수학은 정답률이 낮은 문제를 얼마나 맞히느냐에 따라 등급이 달라지기 때문이다. 그런데 별별 문제를 다 풀면서 무언가 도움이 될 거라는 믿음, 잘하게 될 거라는 믿음은 부작용이 너무 많다. 공교육과 사교육 가리지 않고 이렇게 믿고 공부한 아이들의 90퍼센트가 수학을 포기하는 현실을 보면 공부법이 잘못되었다고 결론지을 수밖에 없다.

핵심에 집중해서 드릴처럼 뚫음 다음 확장해나가는 것이 공부 분량을 줄이며 부작용을 최소화하는 방법이다. 이 전략이 초·중·고 수학 공부에 적합하다. 그렇다면 수학에서 가장 중요한 것은 무엇일까? 바로 미적분이다.

학부모들이 검증하고 선택한 조안호수학연구소의
28년간 상위 1%를 배출한 수학 공부법!
『미적분, 초등도 풀 만큼 제대로 가르쳐주마』

평범한 아이들의 90%가 미적분을 공부하다가 수학을 포기한다. 수학 1등급 아이의 99%가 미적분에 집중한다. 그만큼 공부를 잘해도 어렵고, 못하면 더 어려운 것이 미적분이다. 그런데 조안호 소장은 개념의 징검다리를 제대로 밟는다면 누구나 미적분을 할 수 있다고 말한다. 실제로 초등학교 5~6학년 아이들에게 고등학생들도 어려워하는 고난도 수학 문제를 말로 설명하자, 문제와 수식이 의미하는 바를 이해하고 문제를 풀었다. 초등학생이라도 미적분을 제대로 배우면 할 수 있다는 의미다.

그래서 수학을 선행하는 초등학생과 중학생, 현재 함수와 극한을 이해하는 데 어려움을 겪는 고등학생, 수학 실력이 향상되지 않아 전전긍긍하는 아이와 학부모 들을 위해 『미적분, 초등도 풀 만큼 쉽게 가르쳐주마』를 펴냈다. 이 한 권의 책에 초·중·고 아이들의 수학 성적을 20점대에서 100점으로 끌어올린 조안호 소장의 28년 공력이 담겼다. 그만큼 미적분에 이르기까지의 개념 흐름과 기본적인 문제를 풀기까지의 과정을 초등 고학년이 읽어도 이해할 수 있을 만큼 제대로 쉽게 가르친다.

지금까지 진도를 나가기 급급했다면, 문제 풀이에만 맹목적으로 매달렸다면 이 책을 읽어야 한다. 지금 초등학교, 중학교에서 상위권, 최상위권에 속한다고 해도 읽어야 한다. 수학 은 외국어처럼 늦은 나이에 공부를 시작하면 더 많은 노력이 필요하고 실력 향상에도 한계가 있을 수 있다. 원하는 만큼의 수학 실력을 갖추지 못하면 미래에 대한 선택의 폭이 줄어들게 된다. 그러니 이 책을 반드시 읽기 바란다.